导数的乘法公式推导
设有两个可微函数 u(x) 和 v(x)。我们需要推导它们乘积的导数，即 (u(x) \cdot v(x))'。
步骤 1: 定义增量
首先，我们考虑函数 u(x) 和 v(x) 在 x 处的增量。
设 \Delta x 是 x 的一个小增量，则有：
\Delta u = u(x + \Delta x) - u(x)
\Delta v = v(x + \Delta x) - v(x)
步骤 2: 增量的乘积
考虑函数乘积 u(x) \cdot v(x) 的增量：
\Delta (u \cdot v) = u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) - u(x) \cdot v(x)
我们可以将右边的表达式进行如下变形：
\Delta (u \cdot v) = [u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) - u(x) \cdot v(x + \Delta x)] + [u(x) \cdot v(x + \Delta x) - u(x) \cdot v(x)]
提取公因子：
\Delta (u \cdot v) = v(x + \Delta x) \cdot [u(x + \Delta x) - u(x)] + u(x) \cdot [v(x + \Delta x) - v(x)]
即：
\Delta (u \cdot v) = v(x + \Delta x) \cdot \Delta u + u(x) \cdot \Delta v
步骤 3: 求导
将上述表达式除以 \Delta x：
\frac{\Delta (u \cdot v)}{\Delta x} = v(x + \Delta x) \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} + u(x) \cdot \frac{\Delta v}{\Delta x}
当 \Delta x 趋近于 0 时，v(x + \Delta x) 也趋近于 v(x)，因此：
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta (u \cdot v)}{\Delta x} = v(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} + u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}
即：
(u \cdot v)' = v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x)
结论
导数的乘法公式为：
(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'