最近在分析一波学习数据，有个很想确认的问题：答题次数更多的人，正确率是不是也更高？
这个问题看起来只要把两列数字放在一起就能回答。但有人答了几十次，有人答了几千次；有人本来基础就好，有人正在反复练习薄弱内容。直接看平均数，很容易把事情想简单。
此时就需要一个合适的工具：Spearman 相关分析（Spearman’s rank correlation analysis
，斯皮尔曼秩相关分析）
“秩”这个字有点唬人，把它理解成排名（英文原文就是rank，排名）就行。
举个例子
| 学员 | 答题次数 | 正确率 |
|---|---|---|
| 小王 | 20次 | 50% |
| 小李 | 50次 | 60% |
| 小张 | 100次 | 70% |
| 小陈 | 300次 | 80% |
按答题次数从少到多排：
小王 → 小李 → 小张 → 小陈。
按正确率从低到高排，还是
小王 → 小李 → 小张 → 小陈。
两份排名完全一致。这个例子的 Spearman 相关系数就是 +1。如果次序完全反过来，答题最多的人正确率最低，结果就是 −1。现实中多数情况没有这么整齐，算出来的数通常落在两者之间。
怎么用？
Spearman 相关系数（Spearman’s rank correlation coefficient）通常写作 ρ，也有人写 rₛ，范围是 −1 到 +1。
| 结果 | 可以怎样理解 |
|---|---|
| 接近 +1 | 两份排名通常同向：一个越高，另一个也倾向于越高 |
| 接近 0 | 看不出明显的同向或反向排名规律 |
| 接近 −1 | 两份排名通常反向：一个越高，另一个倾向于越低 |
为什么要这么做？
还是前面的例子。把小陈的答题次数从300次改为3,000次，只要其他数据不变，他仍然排在最后。两份排名都没变，Spearman 的结果也就不变。
所以，它更关注顺序是否一致，不会因为某一个人特别大的数值，就按数值大小给这个人特别大的影响。
与它经常一起出现的 Pearson 相关分析，更关注两列原始数值的线性关系，也就是它们是否大致沿一条直线变化。Spearman 则先看排名是否同向变化，不要求原始数值落在直线上。
不过，换成排名也意味着丢掉了一部分信息：20次和50次之间的差距，与100次和3,000次之间的差距，不能再直接体现在排名间隔里。
接近0，是不是说明“完全没关系”？
Spearman 擅长发现的是单调关系：一个变量增加时，另一个总体上越来越高，或者越来越低。
但有些关系不是单调关系，比如某个指标随着另一个指标增加，先上升又下降，形成倒U形。这样的关系很明显，Spearman 却可能接近0，因为前后两个方向互相抵消了。
最需要小心的是：相关不等于原因
假设真的发现，答题次数与正确率正相关。
我们只能说：在这批数据中，答题更多的人，正确率通常也更高。
还不能直接说：因为答题更多，所以正确率更高。
可能存在别的解释：基础好的学员更愿意多做题；不同学员做的题难度不同；反复做熟悉的题，也可能把累计正确率抬高。
反过来，如果相关系数很低，也不能说练习没有作用。有些人基础薄弱，练了很多后从20%提高到50%，但与原本就能答到80%的人相比，他的正确率仍然更低。把不同的人混在一起比较，可能看不见同一个人的进步。
因此，“多练的人是否通常答得更准”与“多练习能否让同一个人进步”，是两个不同的问题。后一个问题还需要前后对比，并尽量让题目难度、题源等条件可比。
扩展：这个系怎么算出来的？
先说计算链路：保留每个人的两列数据 → 分别换成排名 → 计算两列排名的相关系数。
注意，分别排名不等于把两列数据各自排序后重新拼在一起。小王的答题次数，必须始终对应小王的正确率。 如果打乱了人的对应关系，分析的就不是原来的问题了。
前面两份排名完全一致，所以结果是+1。现在只把小李和小张的正确率交换一下，看看怎么算出一个“不完全一致”的结果。
| 学员 | 答题次数 | 次数排名 R | 正确率 | 正确率排名 S | 排名差 d＝R−S | d² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 小王 | 20次 | 1 | 50% | 1 | 0 | 0 |
| 小李 | 50次 | 2 | 70% | 3 | −1 | 1 |
| 小张 | 100次 | 3 | 60% | 2 | 1 | 1 |
| 小陈 | 300次 | 4 | 80% | 4 | 0 | 0 |
把最后一列加起来：Σd²＝0＋1＋1＋0＝2。当两列都没有并列排名时，可以用这个简化公式：
ρ = 1 − (6 × Σd²) / [n × (n² − 1)]
这里的n是人数，d是同一个人在两份排名中的差。代入这个例子：
n = 4
Σd² = 2
ρ = 1 − (6 × 2) / [4 × (4² − 1)]
= 1 − 12 / 60
= 0.8
所以结果是0.8。两份排名大体一致，但有两个人的位置交换了，没有达到完全一致的+1。
这个公式也能解释前面的两个极端情况：排名完全一致时，每个人的d都是0，结果为+1；在没有并列的情况下，次序完全相反时，结果为−1。
遇到并列数据的话，比如四个人的正确率是：
正确率：50%、60%、60%、80%
排名： 1、 2.5、2.5、 4
不能直接套上面的简化公式，这里就不展开说了，有兴趣的朋友可以自行检索学习
用 Python 验证一下
已经安装 SciPy 的话，可以这样计算刚才的例子：
from scipy.stats import spearmanr
attempts = [20, 50, 100, 300]
accuracy = [50, 70, 60, 80]
result = spearmanr(attempts, accuracy)
print(round(result.statistic, 3)) # 0.8
输入原始数值即可，函数会处理排名。这里读取的是系数statistic，不是pvalue。如果某一列所有人的数值完全相同，没有可比较的高低，系数无法定义，软件通常会返回nan并提示。SciPy 官方说明
同一批数据、同一套排名处理，得到的系数就是固定的。 后续添加的置信区间或p值，是在讨论估计的不确定性和统计证据，不会改变这个系数的计算结果。
最后总结一下
Spearman 帮我们看两份排名是否一起变化；它能发现关联，但不会自动告诉我们为什么。