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损失函数｜交叉熵损失函数
小飞鱼
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这篇文章中，讨论的Cross Entropy损失函数常用于分类问题中，但是为什么它会在分类问题中这么有效呢？我们先从一个简单的分类例子来入手。
1. 图像分类任务
我们希望根据图片动物的轮廓、颜色等特征，来预测动物的类别，有三种可预测类别：猫、狗、猪。假设我们当前有两个模型（参数不同），这两个模型都是通过sigmoid/softmax的方式得到对于每个预测结果的概率值：
模型1：
| 预测 | 真实 | 是否正确 |
|---|---|---|
| 0.3 0.3 0.4 | 0 0 1 (猪) | 正确 |
| undefined | -— | -— |
| 0.3 0.4 0.3 | 0 1 0 (狗) | 正确 |
| undefined | -— | -— |
| 0.1 0.2 0.7 | 1 0 0 (猫) | 错误 |
| undefined | -— | -— |
模型1对于样本1和样本2以非常微弱的优势判断正确，对于样本3的判断则彻底错误。
模型2：
| 预测 | 真实 | 是否正确 |
|---|---|---|
| 0.1 0.2 0.7 | 0 0 1 (猪) | 正确 |
| undefined | -— | -— |
| 0.1 0.7 0.2 | 0 1 0 (狗) | 正确 |
| undefined | -— | -— |
| 0.3 0.4 0.3 | 1 0 0 (猫) | 错误 |
| undefined | -— | -— |
模型2对于样本1和样本2判断非常准确，对于样本3判断错误，但是相对来说没有错得太离谱。
好了，有了模型之后，我们需要通过定义损失函数来判断模型在样本上的表现了，那么我们可以定义哪些损失函数呢？
1.1 Classification Error（分类错误率）
最为直接的损失函数定义为：
模型1：
模型2：
我们知道，模型1和模型2虽然都是预测错了1个，但是相对来说模型2表现得更好，损失函数值照理来说应该更小，但是，很遗憾的是， 并不能判断出来，所以这种损失函数虽然好理解，但表现不太好。
1.2 Mean Squared Error (均方误差)
均方误差损失也是一种比较常见的损失函数，其定义为：
模型1：
对所有样本的loss求平均：
模型2：
对所有样本的loss求平均：
我们发现，MSE能够判断出来模型2优于模型1，那为什么不采样这种损失函数呢？主要原因是在分类问题中，使用sigmoid/softmx得到概率，配合MSE损失函数时，采用梯度下降法进行学习时，会出现模型一开始训练时，学习速率非常慢的情况（MSE损失函数）。
有了上面的直观分析，我们可以清楚的看到，对于分类问题的损失函数来说，分类错误率和均方误差损失都不是很好的损失函数，下面我们来看一下交叉熵损失函数的表现情况。
1.3 Cross Entropy Loss Function（交叉熵损失函数）
1.3.1 表达式
(1) 二分类
在二分的情况下，模型最后需要预测的结果只有两种情况，对于每个类别我们的预测得到的概率为 和
，此时表达式为（
的底数是
）：
其中：
—— 表示样本
的label，正类为
，负类为
—— 表示样本
(2) 多分类
多分类的情况实际上就是对二分类的扩展：
其中：
——类别的数量
——符号函数（
或
取
——观测样本
现在我们利用这个表达式计算上面例子中的损失函数值：
模型1：
对所有样本的loss求平均：
模型2：
对所有样本的loss求平均：
上述计算可以使用python的sklearn库
from sklearn.metrics import log_loss
y_true = [[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]]
y_pred_1 = [[0.3, 0.3, 0.4], [0.3, 0.4, 0.3], [0.1, 0.2, 0.7]]
y_pred_2 = [[0.1, 0.2, 0.7], [0.1, 0.7, 0.2], [0.3, 0.4, 0.3]]
print(log_loss(y_true, y_pred_1))
print(log_loss(y_true, y_pred_2))
____________
1.3783888522474517
0.6391075640678003
可以发现，交叉熵损失函数可以捕捉到模型1和模型2预测效果的差异。
2. 函数性质
可以看出，该函数是凸函数，求导时能够得到全局最优值。
3. 学习过程
交叉熵损失函数经常用于分类问题中，特别是在神经网络做分类问题时，也经常使用交叉熵作为损失函数，此外，由于交叉熵涉及到计算每个类别的概率，所以交叉熵几乎每次都和sigmoid(或softmax)函数一起出现。
我们用神经网络最后一层输出的情况，来看一眼整个模型预测、获得损失和学习的流程：
-
神经网络最后一层得到每个类别的得分scores（也叫logits）；
-
该得分经过sigmoid(或softmax)函数获得概率输出；
-
模型预测的类别概率输出与真实类别的one hot形式进行交叉熵损失函数的计算。
学习任务分为二分类和多分类情况，我们分别讨论这两种情况的学习过程。
3.1 二分类情况
二分类交叉熵损失函数学习过程
如上图所示，求导过程可分成三个子过程，即拆成三项偏导的乘积：
3.1.1 计算第一项： 
- 表示样本
预测为正类的概率
- 为符号函数，样本
为正类时取
，否则取
3.1.2 计算第二项： 
这一项要计算的是sigmoid函数对于score的导数，我们先回顾一下sigmoid函数和分数求导的公式：
3.1.3 计算第三项： 
一般来说，scores是输入的线性函数作用的结果，所以有：
3.1.4 计算结果 
可以看到，我们得到了一个非常漂亮的结果，所以，使用交叉熵损失函数，不仅可以很好的衡量模型的效果，又可以很容易的的进行求导计算。
3.2 多分类情况
多分类交叉熵损失函数学习过程
如上图所示，求导过程可以分为三个子过程：
和二分类区别在于：
-
因为多分类只有一个类别为
为
-
这一项求导时，需要针对
进行分类讨论（这里
的参数
求导）
3.2.1 计算第一项： 
不失一般性，我们可以假设 为
，其他为
，则
求导：
3.2.2 计算第二项：
这一项要计算的是softmax函数对于得分的导数，我们先回顾一下softmax函数和分数求导的公式：
这里 表示的是样本真实类别为
，
表示的是对输入到
的参数
求导，这时候存在两种情况：
情况1:
则第二项的求导式子，可以写成：
求导后得
情况2:
此时 这一项只在分母中存在，求导后得：
3.2.3 计算第三项： 
一般来说，scores是输入的线性函数作用的结果，所以有：
3.2.4 计算结果 
情况1:
情况2:
不失一般性，我们上述假设样本的真实类别为 ，则有:
我们求导时，对不同情况带入 的值后，得到了一致的表达式，如果采用向量化的形式，那么导数就不用再分情况写了，统一成：
可以看出，交叉熵损失函数对于二分类和多分类求导时，采用向量化的形式后，求导结果的形式是一致的。
4. 优缺点
4.1 优点
在用梯度下降法做参数更新的时候，模型学习的速度取决于两个值：一、学习率；二、偏导值。其中，学习率是我们需要设置的超参数，所以我们重点关注偏导值。从上面的式子中，我们发现，偏导值的大小取决于 和
，我们重点关注后者，后者的大小值反映了我们模型的错误程度，该值越大，说明模型效果越差，但是该值越大同时也会使得偏导值越大，从而模型学习速度更快。所以，使用逻辑函数得到概率，并结合交叉熵当损失函数时，在模型效果差的时候学习速度比较快，在模型效果好的时候学习速度变慢。
4.2 缺点
Deng [4]在2019年提出了ArcFace Loss，并在论文里说了Softmax Loss的两个缺点：1、随着分类数目的增大，分类层的线性变化矩阵参数也随着增大；2、对于封闭集分类问题，学习到的特征是可分离的，但对于开放集人脸识别问题，所学特征却没有足够的区分性。对于人脸识别问题，首先人脸数目(对应分类数目)是很多的，而且会不断有新的人脸进来，不是一个封闭集分类问题。
另外，sigmoid(softmax)+cross-entropy loss 擅长于学习类间的信息，因为它采用了类间竞争机制，它只关心对于正确标签预测概率的准确性，忽略了其他非正确标签的差异，导致学习到的特征比较散。基于这个问题的优化有很多，比如对softmax进行改进，如L-Softmax、SM-Softmax、AM-Softmax等。
5. 参考
[1]. 博客 - 神经网络的分类模型 LOSS 函数为什么要用 CROSS ENTROPY
[2]. 博客 - Softmax as a Neural Networks Activation Function
[3]. 博客 - A Gentle Introduction to Cross-Entropy Loss Function
[4]. Deng, Jiankang, et al. “Arcface: Additive angular margin loss for deep face recognition.” Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 2019.