卡片复习推荐算法介绍——FRSR(Free Spaced Repetition Scheduler)

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简介

FSRS全称是 Free Spaced Repetition Scheduler，可以理解为一种“更聪明的复习时间安排算法”。

它解决的问题很简单：

一张卡片，我下一次到底应该什么时候复习？

传统 Anki 的 SM-2 算法主要靠“间隔倍增”和 ease factor。FSRS 更像是给每张卡片建立一个小小的“记忆模型”，根据你的历史表现估计：你现在还记得它的概率是多少，然后安排下一次复习。

FSRS 的核心直觉
FSRS 认为，每张卡片有两个重要属性：

  1. 难度 Difficulty，D
    表示这张卡对你来说有多难。
    越难，之后间隔增长越慢。

  2. 稳定性 Stability，S
    表示这段记忆有多稳。
    越稳定，忘得越慢，下一次复习可以隔更久。

还有一个临时计算出来的值：

  1. 可回忆率 Retrievability，R
    表示“现在你还能想起来的概率”。
    比如 R = 0.9，大概表示你现在有 90% 概率能答对。

一个简单例子
假设你今天复习一张卡。

FSRS 会看：

  • 距离上次复习过了几天
  • 这张卡之前的稳定性 S 是多少
  • 于是估算你现在还记得的概率 R

然后你按了一个按钮：

  • Again：忘了
  • Hard：想起来了，但很费劲
  • Good：正常想起来
  • Easy：很轻松

FSRS 就会更新这张卡的 D 和 S。

比如：

  • 你按 Again：算法认为这张卡比预期更难，稳定性下降或增长很少
  • 你按 Good：算法认为记忆正常增强
  • 你按 Easy：算法认为这张卡对你更容易，稳定性增长更多
  • 你隔了很久还按 Good/Easy：说明这张记忆比想象中更稳，S 会明显增加

它怎么决定下次间隔？
你可以设置一个目标记忆率，比如 90%。

意思是：

我希望卡片到期时，我大约有 90% 的概率还能答对。

FSRS 会反过来计算：

如果这张卡的稳定性是 S，那么要让下次复习时记忆率大约是 90%，应该隔几天？

所以：

  • 目标记忆率越高，比如 95%，复习会更频繁
  • 目标记忆率越低，比如 80%，间隔会更长，复习量更少
  • 卡片越稳定，间隔越长
  • 卡片越难，间隔增长越保守

FSRS 和普通 Anki 算法最大的区别
普通 SM-2 更像规则系统：

答对了，间隔乘一个系数；答错了，重新来。

FSRS 更像预测系统：

根据你的复习历史，估计这张卡现在的遗忘概率，再安排一个能满足目标记忆率的复习时间。

所以 FSRS 通常更个性化。它会通过你的历史数据学习参数，也就是学习“你大概多久会忘”“哪些卡对你更难”“不同评分对你意味着什么”。

一句话版
FSRS 就是：

给每张卡估计“难度”和“记忆稳定性”，用遗忘曲线预测你什么时候快忘了，然后把复习安排在你大概率还记得、但又不太早浪费时间的时候。

如果用做饭打比方，SM-2 像固定菜谱：“每次翻倍加时间”；FSRS 像会观察火候：“这锅熟得快，那锅慢一点，所以时间单独调”。

FSRS v1-v6的区别

不同版本的区别可以理解成：核心思想一直没变，都是用 D/S/R 描述记忆；版本升级主要是在“公式更合理、参数更多、对真实复习行为拟合更好”。

FSRS 的共同骨架是：

  • D = Difficulty：这张卡对你有多难，范围大致是 1 到 10。
  • S = Stability：这段记忆有多稳。S 越大，能隔越久复习。
  • R = Retrievability：现在还能想起来的概率。
  • G = Grade：你的评分，Again=1、Hard=2、Good=3、Easy=4。官方页也是这样定义这些符号的。来源：The Algorithm

一句话看版本演进

版本 参数数 主要变化 小白理解
FSRS v1 7 有 S/D/L，其中 L 是忘记次数 最早版本，模型还比较粗糙
FSRS v2 14 去掉/弱化单纯依赖 lapse 次数，开始更系统地建模成功/失败后的稳定性 开始像真正的记忆模型
FSRS v3 13 使用指数遗忘曲线 0.9^(t/S)，初始 S/D 公式更规整 有了比较清晰的遗忘曲线
FSRS v4 17 改成新的遗忘曲线，并完善成功/失败后的稳定性更新 成为现代 FSRS 的基础形态
FSRS-4.5 17 主要改遗忘曲线形状 更符合“前期忘得快，后期变平缓”的现象
FSRS-5 19 加入同日复习稳定性公式，改初始难度和难度回归目标 更好处理学习阶段/当天多次复习
FSRS-6 21 同日复习公式进一步改进，并让遗忘曲线的衰减参数可训练 当前更灵活、更精细的版本

从 v1 到 v3：从粗糙经验公式到 D/S 模型

FSRS v1 还带有 Lapses，也就是“这张卡忘过几次”。忘记后的稳定性主要依赖总遗忘次数。这个思路很直观：忘得越多，说明卡越麻烦。

但它也比较粗糙，因为“忘过几次”不能完整描述一张卡的状态。比如同样忘了一次，有的人是隔 2 天忘，有的人是隔 100 天忘，这两种情况含义完全不同。

v2/v3 开始更清楚地围绕 D 和 S 来建模。v3 使用的遗忘曲线是：

R(t,S) = 0.9^(t/S)

意思是：当经过的时间 t 等于稳定性 S 时，记忆概率刚好是 90%。官方页里 v3 是 13 个参数，并且记忆状态由 S 和 D 表示。来源：FSRS v3

v4：现代 FSRS 的关键版本

FSRS v4 仍然用 D/S，但公式明显成熟了。它有 17 个参数。

它对三件事建模：

  1. 第一次评分后，这张卡初始稳定性是多少。
  2. 每次复习后，难度怎么变化。
  3. 成功回忆或忘记之后，稳定性怎么变化。

v4 的遗忘曲线变成：

R(t,S) = (1 + t / (9S))^-1

同样保证 t = S 时，R = 90%。来源：FSRS v4

小白版理解：
v4 开始不只是“答对就乘一个系数”，而是会看：

  • 这张卡难不难
  • 现在稳定性高不高
  • 你是不是拖了很久才复习
  • 你按的是 Hard/Good/Easy/Again

然后综合更新下一次间隔。

FSRS-4.5：主要改遗忘曲线

FSRS-4.5 和 v4 参数数量一样，都是 17 个，但它改了遗忘曲线：

R(t,S) = (1 + FACTOR * t / S)^DECAY

官方页特别说，FSRS-4.5 的新曲线在 S 之前下降更快，在 S 之后更平缓。来源：FSRS-4.5

这是什么意思？

假设一张卡稳定性是 10 天：

  • 在 10 天前，记忆可能掉得比较明显。
  • 超过 10 天后，不会像旧模型那样简单线性/固定形状地掉下去。

也就是说，4.5 更像真实记忆：刚开始忘得快，后面忘得慢一些。

FSRS-5：更重视“当天复习”和难度更新

FSRS-5 从 17 个参数变成 19 个参数。官方页说它新增/修改了同日复习后的稳定性公式，并改了初始难度公式；同时，难度的均值回归目标从早期版本的 D0(3) 改成了 D0(4)。来源：FSRS-5

小白版理解：

很多卡片不是只隔几天复习一次。新卡学习时，你可能今天就按了好几次：

  • 第一次 Again
  • 10 分钟后 Good
  • 之后 Easy

这些“同一天内的学习步骤”跟长期复习不完全一样。FSRS-5 开始更专门地处理这个问题。

FSRS-6：当前更细的版本

FSRS-6 使用 21 个参数。官方页说它有两个重要变化：

  1. 同日复习的稳定性公式又改了
    新公式让 S 小的时候增长更快，S 大的时候增长更慢。

  2. 遗忘曲线的 decay 变成可训练参数
    也就是遗忘曲线的形状不再固定，而是可以通过数据学习。来源：FSRS-6

这点很重要。因为不同人、不同材料的遗忘速度不一样：

  • 背单词
  • 背医学知识
  • 背数学定理
  • 背人名日期

它们的遗忘曲线可能不完全一样。FSRS-6 允许模型更灵活地适配数据。

最重要的区别，其实是这三条

  1. 遗忘曲线越来越合理

    • v3：指数曲线
    • v4：新的幂函数曲线
    • 4.5：调整曲线形状
    • 6：曲线衰减参数可训练

  2. 参数越来越多

    • v1：7 个
    • v3：13 个
    • v4/4.5：17 个
    • v5：19 个
    • v6：21 个

    参数多不是为了复杂而复杂，而是为了更细地描述：初始难度、初始稳定性、成功回忆、忘记、Hard 惩罚、Easy 奖励、同日复习等情况。

  3. 对真实 Anki 行为越来越贴近
    早期版本更像理论模型；后续版本逐步补上现实中的细节，比如同日学习、难度回归、Hard/Easy 的不同影响、忘记后的稳定性上限等。

该用哪个？

普通用户不用纠结历史版本：用 Anki 当前内置的 FSRS，或者这个项目里的 FSRS-6 系列即可。

历史版本主要适合你理解算法演进：

  • 想理解基础：看 v3/v4
  • 想理解现代 FSRS：看 FSRS-4.5
  • 想看当前更完整模型：看 FSRS-6

一句话总结：

FSRS 各版本的核心都一样：估计你现在还记得的概率，再安排下次复习。版本越新，遗忘曲线越灵活，对新卡、当天复习、不同评分、不同材料的处理越细。

如何通过四个按钮推导出FSRS的所有参数

这里要分清两件事：

四个按钮不是一次性算出所有参数。

FSRS 里的参数主要有两类：

  1. 模型参数 w
    比如 FSRS-6 有 21 个参数。
    这些不是你每按一次按钮就现场算出来的，而是通过大量历史复习记录训练/优化出来的。

  2. 单张卡片的记忆状态 D/S/R
    这个才是每次按按钮时更新的。

    • D：这张卡对你有多难
    • S：这张卡记忆有多稳
    • R：这次复习前，算法估计你还记得的概率

四个按钮真正提供的是 反馈信号。

可以把它理解成：

你按的按钮 算法理解
Again 失败，没想起来
Hard 成功了，但很困难
Good 正常成功
Easy 很轻松成功

所以按钮本身不是“21 个参数”，而是一个观测结果：
这次在间隔了 t 天之后，你的记忆表现如何。

举个简单例子。

假设一张卡上次复习后隔了 10 天才出现。FSRS 估计：

你现在大概有 80% 概率能想起来。

然后你按了：

  • Again：说明算法高估了你，实际没想起来
  • Good：说明 80% 这个预测还可以
  • Easy：说明算法可能低估了你，你记得比预期牢
  • Hard：说明你虽然想起来了，但边缘得很

大量这样的记录放在一起，就可以反推模型参数。

每条记录大概长这样：

卡片 A，距离上次 3 天，按了 Good
卡片 A，距离上次 8 天，按了 Hard
卡片 A，距离上次 15 天，按了 Again
卡片 B，距离上次 1 天，按了 Easy
卡片 B，距离上次 20 天，按了 Good
...

优化器要做的事情是：

找一组参数 w，使得 FSRS 对这些历史记录的预测，尽量接近真实按钮结果。

比如某组参数预测：

这次应该有 90% 概率想起来

结果你按了 Again，那就是预测错了，参数要调整。

如果预测：

这次只有 40% 概率想起来

结果你按了 Good，也说明参数不太对。

训练过程就是不断试参数，让整体预测误差变小。

这里有个小小的关键点：
FSRS 训练时通常会把按钮先简化成 成功/失败：

  • Again = 失败
  • Hard / Good / Easy = 成功

然后 Hard/Good/Easy 又会在调度时影响难度和稳定性的增长幅度。

所以四个按钮的信息量其实比看起来大，因为它们和这些信息一起使用：

  • 距离上次复习过了多久
  • 之前按过什么按钮
  • 这张卡之前的稳定性是多少
  • 这张卡之前的难度是多少
  • 这次是成功还是失败
  • 成功得轻松还是困难

类比一下：

你不是只告诉算法“我按了 Good”。
你实际告诉它的是：

这张卡在当前记忆状态下，隔了这么多天之后，我还能正常想起来。

这就很有价值。

一个生活类比

假设你想估计一个人跑步水平。你不能只看他说“轻松/困难”，但如果你知道：

他跑了 5 公里，说轻松
他跑了 10 公里，说困难
他跑了 15 公里，跑不下来

你就能慢慢估计出他的体能水平。

FSRS 也是一样。四个按钮只是反馈，但反馈前面带着“隔了多久、之前状态如何”这些上下文，所以足够训练出参数。

一句话总结：

FSRS 不是靠四个按钮直接算出 21 个参数，而是把大量“间隔时间 + 按钮结果”的历史记录当作训练数据，找出一组最能解释你记忆规律的参数；之后每次按按钮，只是在用这组参数更新单张卡的难度和稳定性。

参考

复习推荐如何结合IRT、BKT、FSRS